-07- בשנים קודמות למדתם את נושא הזוויות. גיאומטריה זוויות מבוא מטרתנו בפרק זה היא לחזור על המושגים שנלמדו ולהעמיק את הלימוד בנושא זה. זווית נוצרת על-ידי שתי קרניים היוצאות מנקודה אחת. הנקודה נקראת קדקוד הזווית. הקרניים נקראות שוקי הזווית. למעשה נוצרות שתי זוויות: האחת קטנה, והאחרת גדולה )פרט לזווית שטוחה, שבה נעסוק בהמשך(. נהוג לסמן את הזווית שאליה מתכוונים באמצעות קשת. שוק זווית שוק קדקוד הזווית שימו לב! כאשר לא מציינים את הזווית המסוימת, מתכוונים תמיד לזווית הקטנה מבין שתי הזוויות הנוצרות על-ידי הקרניים )מקרה א'(. זווית שטוחה הזווית הקטנה מקרה א' זווית ששוקיה יוצרות ישר. בשונה מזוויות אחרות, במקרה זה הקרניים יוצרות מקרה ב' שתי זוויות שוות )ולא אחת גדולה ואחת קטנה(, ושתיהן זוויות שטוחות. הזווית הגדולה 80
-08- L לדרך... תרגילים מה נלמד? 9 נלמד 9 לסמן זוויות בדרכים נוספות. 9 נלמד 9 למדוד זוויות. 9 נלמד 9 על זוויות שוות וזוויות שונות. 9 נלמד 9 לחבר ולחסר זוויות. על מה נחזור? 9 נחזור 9 על סימון זוויות שלמדנו בתחילת השנה. )התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 97-96(.I. סימון הזווית - תזכורת על-ידי אות לטינית אחת גדולה, שמציינת את קדקוד הזווית )בתנאי שיש רק זווית אחת בעלת אותו קדקוד(. בכתיב מתמטי:. על-ידי שלוש אותיות לטיניות גדולות, וסימן לפניהן: האות האמצעית מציינת את קדקוד הזווית, ושתי האותיות האחרות הן נקודות על שוקי הזווית. רשמו בשני אופנים כל אחת מהזוויות במצולעים הבאים: ))) באמצעות אות אחת. ))) באמצעות שלוש אותיות. בכתיב מתמטי: או. א. ב. ג. T P K M T R
-09- רשמו באמצעות שלוש אותיות את: ג. זוויות:,, 3, 4,, 3 א. זוויות: β, γ, ב. זוויות: T 3 4 T G סימון הזווית - אפשרויות נוספות - תזכורת 3 F β γ.ii.iii סיכום התרגיל על-ידי מספרים המסומנים בתוך הזווית. או. בכתיב מתמטי: או. בכתיב מתמטי: על-ידי אותיות יווניות קטנות: )אלפא( β )ביתא( γ )גמא( δ )דלתא( וכו' δ γ β במקרה זה אין לרשום את הסימן לפני האותיות. נרשום, ולא. קיימות מספר אפשרויות לסימון זוויות: 9 באמצעות 9 אות לטינית אחת גדולה, המציינת את קדקוד הזווית. לדוגמה: T 9 באמצעות 9 שלוש אותיות, כאשר האות האמצעית מציינת את קדקוד הזווית. לדוגמה: או 9 באמצעות 9 מספרים המסומנים בתוך הזווית. לדוגמה: או או 9 באמצעות 9 אותיות יווניות קטנות. לדוגמה: זווית
-0- א. רשמו. באמצעות שלוש אותיות את השמות של כל הזוויות המופיעות בסרטוט: ב. R G S N K ג. P מדידת הזווית 9 גודלה 9 של הזווית נקבע לפי מידת הסיבוב של קרן אחת יחסית לאחרת. יחידת המדידה המקובלת של זווית היא מעלה, ורושמים אותה כך: )מעלה אחת(. גודלה של זווית שטוחה הוא. 80 לכן זווית בת ניתן להציג כ- מגודלה של זווית שטוחה. 80 כאשר נמדוד זווית כלשהי, נבדוק כמה זוויות בנות ) ( יכולות "להרכיב" את הזווית הנמדדת, ובהתאם לכך נקבע את גודל הזווית. למשל:,30,45,5.5,90 80 וכו'. נתבונן בסרטוט. I II III IV במקרה I מתלכדות שתי הקרניים של הזווית ונראות כקרן אחת. גודלה של הזווית בין שתי הקרניים הוא 0 )אפס מעלות(. בשלבי המעבר ממקרה I למקרה IV נשארת קרן אחת קבועה, והקרן האחרת מסתובבת ביחס לקרן הראשונה ויוצרת זוויות חדשות, השונות זו מזו בגודלן. 9 מדידת 9 הזווית מתבצעת באמצעות כלי מיוחד הנקרא מד-זווית. הוא בנוי בצורת קשת של חצי עיגול, ובאמצעותו ניתן למדוד זוויות שגודלן נע בין 0 ל- 80. שימו לב! לנוחותנו מסומנות הזוויות על מד-הזווית בשני אופנים: בקשת הפנימית: מ- 0 ל- 80 בסיבוב מימין לשמאל; ובקשת החיצונית: מ- 0 ל- 80 בסיבוב משמאל לימין.
-- 3.3 לצורך מדידת גודל הזווית מניחים את מד-הזווית כך, שמרכזו מתלכד עם קדקוד הזווית; ואחת משוקי הזווית מצביעה על 0 )בקשת הפנימית או בקשת החיצונית(; וכעת בודקים על איזה מספר במד-הזווית מצביעה השוק השנייה של הזווית. לדוגמה: בסרטוט מודדים את הזווית. לשם כך מניחים את מרכז מד-הזווית כך, שהוא מתלכד עם קדקוד הזווית, והשוק מצביעה על 0 בקשת הפנימית של מד-הזווית. כעת נבדוק על איזה מספר בקשת הפנימית מצביעה השוק. אנו רואים שהשוק מצביעה על 40. לכן גודלה של הזווית הוא 40, ורושמים: =40. נק' הציון של 0 נק' הציון של גודל הזווית מרכז מד- הזווית I. מדדו באמצעות מד-זווית את גודל הזוויות שבסרטוטים הבאים. א. ב.
-- ג. ד. ה. ו..II סרטטו במחברתכם באמצעות מד-זווית את הזוויות הבאות. א. 40 = ב. 0 = KM ג. = 65 ד. = 90 P ה. 5 = T ו. 48 = ז. = 78 β ח. = 80 γ.iii זוויות שוות שתי זוויות שוות זו לזו, אם ניתן להניח זווית אחת על גבי השנייה באופן שהקדקוד האחד מתלכד עם הקדקוד האחר, וכל אחת משתי הקרניים של הזווית האחת מונחת על גבי כל אחת משתי הקרניים של הזווית האחרת. β F בכתיב מתמטי: =β או = או. = F הערה חשובה! אורך הקרניים, כפי שהדבר בא לידי ביטוי בסרטוט, אינו רלוונטי לגודל הזווית )ראו סרטוט למעלה(.
-3- זוויות שונות P 40 0 T S אם ניתן להניח זווית אחת על גבי הזווית האחרת כך, שהקדקודים של שתי הזוויות מתלכדים, ובנוסף הקרן של זווית א' מונחת על גבי הקרן של זווית ב', והקרן הנוספת של זווית א' נמצאת בין הקרניים של זווית ב' אזי זווית א' קטנה מזווית ב'. א. ענת טענה כי קטנה מזווית. TPS הסבירו מדוע ענת טועה. 40 0 ב. הסבירו: מדוע KTS קטנה מזווית? STP )הדרכה: העתיקו את הזוויות על נייר אפייה או על נייר שקוף אחר(..IV סיכום התרגיל K S P T β F בכתיב מתמטי: < β או < או. < F מדידת הזווית לצורך מדידת גודל הזווית מניחים את מד-הזווית באופן הבא: 9 מרכז 9 מד-הזווית מתלכד עם קדקוד הזווית. 9 אחת 9 משוקי הזווית מצביעה על 0 )בקשת הפנימית או בקשת החיצונית(; ובודקים על איזה מספר במד-הזווית מצביעה השוק השנייה של הזווית. זוויות שוות : שתי זוויות שוות זו לזו, אם ניתן להניח זווית אחת על גבי הזווית האחרת באופן שהקדקוד האחד מתלכד עם הקדקוד האחר, וכל אחת משתי הקרניים של הזווית האחת מונחת על גבי כל אחת משתי הקרניים של הזווית האחרת. זוויות שונות : אם ניתן להניח זווית אחת על גבי הזווית האחרת כך, שהקדקודים של שתי הזוויות מתלכדים, ובנוסף הקרן של זווית א' מונחת על גבי הקרן של זווית ב', והקרן הנוספת של זווית א' נמצאת בין הקרניים של זווית ב' אזי זווית א' קטנה מזווית ב'.
-4-. I 4. 4 לפניכם מספר משולשים. באמצעות מד-זווית מדדו בכל אחד מהמשולשים את גודלן של כל אחת משלוש הזוויות, וחשבו את סכומן. ב. 3 ד. β γ א. ג..II סרטטו במחברתכם משולש כלשהו. לדעתכם, מהו סכום כל הזוויות במשולש? אמתו את תשובתכם על-ידי מדידת הזוויות. I. 5. 5 לפניכם זוגות של ישרים מקבילים וישר שלישי החותך אותם. ( ) ( מדדו באמצעות מד-זווית את הזוויות המסומנות. ( ) ( מה ניתן לומר על הזוויות הללו? ב. ג. δ γ β א.
-5- b a.i 6.6.II לפניכם זוגות של ישרים לא מקבילים וישר שלישי החותך אותם. מדדו באמצעות מד-זווית את הזוויות המסומנות, וקבעו אם הן שוות או לא. ב. א. β c על-ידי ישר שלישי הנחתכים ו- b, a נתונים שני ישרים.III c )ראו סרטוט סכמתי(. הסתמכו על סעיפים I ו- II, וציינו מה ניתן לומר על גודלן של הזוויות ו - המסומנות בסרטוט, אם ידוע כי: א. ישרים a ו- b אינם מקבילים זה לזה. ב. ישרים a ו- b מקבילים זה לזה. חיבור זוויות. ו- היא סכום הזוויות בכתיב מתמטי: = + = + או רשמו באמצעות זווית אחת )שלוש אותיות( את סכום הזוויות הבאות:. א + ב +. ג +. ד +.. ה + +
-6- F β.ii חיסור זוויות. ו- היא הפרש הזוויות בכתיב מתמטי: = - רשמו באמצעות זווית אחת )שלוש אותיות( את הפרש הזוויות הבאות:. א F -. ב -. גF F -. דF F -. ה F - F -.III סיכום התרגיל 7 נתון:. 7 = 6,. δ = 0,γ = 35,β = 7. א ד.. ב ה.. ג ו. 8 מדדו. 8 באמצעות מד-זווית כל אחת מארבע הזוויות הבאות:.,,, על סמך מדידות אלו חשבו את הזוויות הבאות, ובדקו את התוצאות שקיבלתם באמצעות מד-הזווית: למציאת סכום )או הפרש( של זוויות מבצעים את הפעולה המתאימה - חיבור )או חיסור( - של הזוויות בעלות קדקוד משותף ושוק משותפת. γ δ. א ד.. ב ה.. ג ו.
-7- P 3 L T G M N 9 נתון:. 9 = 50 PL. LN = 75, PM = 80,. אLM ב. MN מדדו 00 באמצעות מד-זווית כל אחת משלוש הזוויות הבאות:. G, T, G על סמך מדידות אלו חשבו את הזוויות הבאות, ובדקו את התוצאות שקיבלתם באמצעות מד-הזווית: ג. T ב.. GT נתון: = 70. = 0, = 47, = 30,. א. א ד.. ב ה.. ג ו. במשולש נתון:. = 0, = 80, = 3? 3 מה גודלה של זווית במשולש 33 נתון: = 50. = =,. א ב. ג.
-8-44 נתון: = 54. =,. א. ב. = 55 נתון: = 4, 3. א. ב נתון: 66 = 8. =,. א. ב.. נתון: = גדולה פי 3 מ - 7 7. א. ב. = + 0, = 88 נתון: = 30,, =. א ה.. ב ו.. ג ז.. ד
-9- נתון: 99. =, = * הסבירו: מדוע? = )הדרכה: ניתן להסביר לגבי מקרה פרטי. קבעו את גודל הזוויות כרצונכם והסבירו.( נתון: 00. = * הסבירו: מדוע? = )הדרכה: ניתן להסביר לגבי מקרה פרטי.( נתון:. = * הסבירו: מדוע? = )הדרכה: ניתן להסביר לגבי מקרה פרטי.(
-0- זווית סיכום הפרק )זוויות - מבוא( נוצרת על-ידי שתי קרניים היוצאות מנקודה אחת. הנקודה נקראת קדקוד הזווית. הקרניים נקראות שוקי הזווית. זווית שטוחה זווית ששוקיה יוצרות ישר. סימון הזווית 9 על-ידי 9 שלוש אותיות לטיניות גדולות וסימן לפניהן. האות האמצעית מציינת את קדקוד הזווית. בכתיב מתמטי:. 9 על-ידי 9 אות לטינית אחת גדולה, שמציינת את קדקוד הזווית. בכתיב מתמטי:. 9 על-ידי 9 מספרים המסומנים בתוך הזווית. או. בכתיב מתמטי: או. בכתיב מתמטי: 9 על-ידי 9 אותיות יווניות קטנות: )אלפא( β )ביתא( γ )גמא( δ )דלתא( וכו' במקרה זה אין לרשום את הסימן לפני האותיות. נרשום, ולא. מדידת הזווית 9 גודלה 9 של הזווית נקבע לפי מידת הסיבוב של קרן אחת יחסית לאחרת. יחידת המדידה המקובלת של זווית היא מעלה, ורושמים אותה כך: )מעלה אחת(. גודלה של זווית שטוחה הוא. 80 לכן, זווית בת ניתן להציג כ- מגודלה של זווית שטוחה. 80 שוק זווית שוק 80 קדקוד הזווית δ γ β
-- סיכום - המשך 9 לצורך 9 מדידת גודל הזווית מניחים את מד-הזווית באופן הבא: מרכז מד-הזווית מתלכד עם קדקוד הזווית; אחת משוקי הזווית מצביעה על 0 )בקשת הפנימית או בקשת החיצונית(; בודקים על איזה מספר במד-הזווית מצביעה השוק השנייה של הזווית. זוויות שוות שתי זוויות שוות זו לזו, אם ניתן להניח זווית אחת על גבי הזווית השנייה באופן שהקדקוד האחד מתלכד עם הקדקוד האחר, וכל אחת משתי הקרניים של הזווית האחת מונחת על גבי כל אחת משתי הקרניים של הזווית האחרת. זוויות שונות אם ניתן להניח זווית אחת על גבי הזווית האחרת כך, שהקדקודים של שתי הזוויות מתלכדים, ובנוסף הקרן של זווית א' מונחת על גבי הקרן של זווית ב', והקרן הנוספת של זווית א' נמצאת בין הקרניים של זווית ב' אזי זווית א' קטנה מזווית ב'. חיבור זוויות. ו- היא סכום הזוויות חיסור זוויות. ו- היא הפרש הזוויות